적분의 주제들

개요

로그 사인 적분 (log sine integrals) \[\int_{0}^{\pi/2}\log^2(\sin x)\,dx=\frac{\pi}{2}(\log 2)^2+\frac{\pi^3}{24}\]
로그 탄젠트 적분(log tangent integral) \[\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=\frac{\pi}{2}\ln \left(\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi}\right)\] \[\int_0^{\infty}\frac{\log^2 x}{1+x^2} dx = \frac{ \pi^3}{8}\]
다이로그 함수(dilogarithm ) \[\int_{0}^{\infty}\log(1+e^{-x})\,dx=\frac{\pi^2}{12}\]
가우시안 적분 \[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}\]
라마누잔의 정적분 \[\int_{0}^{\infty}\frac{x e^{-\sqrt{5}x}}{\cosh{x}}\,dx=\frac{1}{8}(\psi^{(1)}(\frac{1+\sqrt{5}}{4})-\psi^{(1)}(\frac{3+\sqrt{5}}{4}))\]
로그함수와 유리함수가 있는 정적분 \[\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(x^{2}+1)}{x^{2}+1}\,dx=\pi\ln2\]

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