1/(1+x^2)의 적분

개요

\(\int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x+C\)

 

 

곡선과 적분

 

\(\int \frac{1}{g(x)}\,dx\)

형태의 적분을 생각해 보자.

\(x=f(t)\), \(y=g(x)=g(f(t))=f'(t)\) 을 만족시키는 경우,

\(\int \frac{1}{g(x)}\,dx=\int \frac{f'(t)}{g(f(t))}\,dt=\int \frac{f'(t)}{f'(t)}\,dt=f^{-1}(x)+C\) 를 얻는다.

 

따라서 \(f'(t)\) 를 \(f(t)\) 의 간단한 함수로 표현할 수 있는 경우, 즉 \(f'(t)=g(f(t))\) 의 형태가 되는 경우, 1/g의 ㅂ적분을 쉽게 찾을 수 있다.

 

 

이차곡선과 삼각·쌍곡 함수

x=f(t), y=f'(t)

 

x=\cos t, y=\sin t, x^2+y^2=1

x=\sin t, y=\cos t, x^2+y^2=1

x=\Cosh t, y=\Sinh t, x^2-y^2=1

x=\Sinh t, y=\Cosh t, x^2-y^2=-1

 

x=\Tan t, y=\Sec^2 t, x^2-y=-1

x=\Cot t, y=-\Csc^2 t, x^2+y=-1

x=\Tanh t, y=\Sech^2 t, x^2+y=1

x=\Coth t, y=-\CSch^2 t, x^2+y=1

 

 

관련된 항목들

• 오일러 치환
• 삼각치환
• 바이어슈트라스 치환