연분수
개요
- 다음과 같은 형태로 주어지는 수를 연분수라 한다
- <math>a_0+\frac{b_1}{a_1+\frac{b_2}{a_2+\frac{b_3}{a_3+\frac{b_4}{a_4+\frac{b_5}{a_5+\frac{b_6}{a_6+\frac{b_7}{a_7+\frac{b_8}{a_8+\frac{b_9}{a_9+\frac{b_{10}}{a_{10}}}}}}}}}}}</math>
- 다음과 같은 경우를 단순연분수라 한다
- <math>
c=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{a_4+\frac{1}{a_5+\cdots}}}}} </math>
- 이를 <math>c=[a_0;a_1,a_2,\cdots]</math>로 표현한다
- convergents <math>c_n=[a_0;a_1,a_2,\cdots,a_n]</math>를 정의
- <math>c_n</math>의 분자 <math>p_n</math>와 분모 <math>q_n</math>로 이루어진 수열에 대하여 다음이 성립한다
- <math>
\begin{vmatrix} p_{n} & p_{n+1} \\ q_{n} & q_{n+1} \end{vmatrix}=(-1)^{n+1} </math>
- <math>p_{n+1}=a_{n+1}p_n+p_{n-1}</math>
- <math>q_{n+1}=a_{n+1}q_n+q_{n-1}</math>
- <math>p_n</math>과 <math>q_n</math>에 대해서는 Continuant 항목을 참조
예
루트 2
- 루트 2의 연분수 전개는 <math>[1;2,2,2,\cdots]</math>, 즉 다음과 같이 주어진다
- <math>\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}</math>
- convergents <math>\{c_n\}_{n\geq 0}</math>는 다음과 같이 주어진다
- <math>
\begin{array}{c|cccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline c_n & 1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{5} & \frac{17}{12} & \frac{41}{29} & \frac{99}{70} & \frac{239}{169} & \frac{577}{408} & \frac{1393}{985} & \frac{3363}{2378} \\ \end{array} </math>
- <math>c_n</math>의 분자 <math>p_n</math>와 분모 <math>q_n</math>로 이루어진 수열을 생각하자
- <math>
\begin{array}{c|cccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline p_n & 1 & 3 & 7 & 17 & 41 & 99 & 239 & 577 & 1393 & 3363 \\ q_n & 1 & 2 & 5 & 12 & 29 & 70 & 169 & 408 & 985 & 2378 \\ \end{array} </math>
- 다음이 성립한다
- <math>p_n^2-2 q_n^2=(-1)^{n-1}</math>
- <math>
\begin{vmatrix} p_{n} & p_{n+1} \\ q_{n} & q_{n+1} \end{vmatrix}=(-1)^{n-1} </math>
- <math>p_{n+1}=2p_n+p_{n-1}, p_0=1, p_1=3</math>
- <math>q_{n+1}=2q_n+q_{n-1}, q_0=1, q_1=2</math>
- 2의 제곱근(루트 2, 피타고라스 상수)
황금비
- 황금비의 연분수 전개는 <math>[1;1,1,1,\cdots]</math>, 즉 다음과 같이 주어진다
- <math>\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}</math>
- convergents <math>\{c_n\}_{n\geq 0}</math>는 다음과 같이 주어진다
- <math>
\begin{array}{c|cccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline c_n & 1 & 2 & \frac{3}{2} & \frac{5}{3} & \frac{8}{5} & \frac{13}{8} & \frac{21}{13} & \frac{34}{21} & \frac{55}{34} & \frac{89}{55} \\ \end{array} </math>
- <math>c_n</math>의 분자 <math>p_n</math>와 분모 <math>q_n</math>로 이루어진 수열을 생각하자
- <math>
\begin{array}{c|cccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline p_n & 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 21 & 34 & 55 & 89 \\ q_n & 1 & 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 21 & 34 & 55 \\ \end{array} </math>
- 다음이 성립한다
- <math>
\begin{vmatrix} p_{n} & p_{n+1} \\ q_{n} & q_{n+1} \end{vmatrix}=(-1)^{n-1} </math>
- <math>p_{n+1}=p_n+p_{n-1}, p_0=1, p_1=2</math>
- <math>q_{n+1}=q_n+q_{n-1}, q_0=1, q_1=1</math>
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
- 연분수와 유리수 근사
- 가우스의 연분수
- 로저스-라마누잔 연분수
- 타자의 타율과 연분수
- 원주율과 연분수 Brouncker 의 공식
- 킨친 상수
- 2의 제곱근(루트 2, 피타고라스 상수)
- 자렘바의 추측
매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련논문
- Bengoechea, Paloma. ‘On a Theorem of Serret on Continued Fractions’. arXiv:1301.5944 [math], 24 January 2013. http://arxiv.org/abs/1301.5944.