삼각함수

개요

• 중학교에서 배운 삼각비를 실수 전체에서 정의된 함수로 확장하여 얻어지는 함수
• 주기성을 가지며 삼각함수들 사이에 많은 공식이 성립
• 삼각비와 삼각함수의 차이에 대해서는 삼각비에서 삼각함수로 항목을 참조
• 삼각함수는 다양한 관점에서 이해가능하며, 각 관점에 따라 많은 방식으로 일반화된다
• 삼각함수가 수학에서 차지하는 중요성을 알기 위해서는 삼각함수의 일반화 항목을 참조

배우기 전에 알고 있어야 하는 것들

• 피타고라스의 정리
• 원의 방정식

사인과 코사인

• 단위원의 방정식\[x^2+y^2=1\]
• 원 위에서 각도함수 정의하기 작업을 통해 단위원의 각 점에 해당하는 각도 \(\theta\)를 정의할 수 있다
• 코사인과 사인함수는 각각 각도 \(\theta\)에 해당하는 단위원의 점의 x-좌표와 y-좌표로 정의된다
• 단위원의 좌표로 함수가 정의되므로, 다음 공식을 만족시킨다\[\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\]

탄젠트와 코탄젠트, 시컨트와 코시컨트

• \(1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\)

삼각함수의 여러가지 공식들

• 삼각함수에 공식이 많은 이유는 삼각함수가 단위원의 매개함수로 정의되며, 단위원은 군(group)의 구조를 가지는 다양체이기 때문
  • 군의 개념에 대해서는 군론 항목을 참조
• 더 자세한 사항은 삼각함수에는 왜 공식이 많은가? 항목을 참조

덧셈공식

\(\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\)

\(\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\\)

\(\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}\)

배각공식

• 2배각공식과 3배각 공식

\(\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta\)

\(\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1\)

\(\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\)

\(\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3\theta\)

\(\cos 3\theta = 4 \cos^3\theta - 3 \cos \theta\)

• 더 일반적인 경우에 대해서는 삼각함수의 배각공식 표 항목과 체비셰프 다항식 참조

반각공식

\(\sin^2 \frac{\theta}{2} =\frac{1 - \cos \theta}{2}\)

\(\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}\)

삼각함수의 값

• 삼각함수의 값

삼각함수의 급수 표현

• 사인함수와 코사인함수의 급수표현은 미적분학 강의를 통해서도 잘 배우지만, 탄젠트는 거의 언급되지 않음.
• 그 이유는, 표현에 베르누이수가 필요하기 때문.

\(\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)

\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)

• 베르누이 수 참조

쌍곡함수

• 쌍곡함수 \[\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i \cot ix \]

삼각함수 표

• http://www.kor.pe.kr/home/ref/sin_cos_tan.htm

역사

• Earliest Uses of Symbols for Trigonometric and Hyperbolic Functions
• 수학사 연표

메모

• http://bomber0.byus.net/index.php/2008/11/11/869
• http://navercast.naver.com/science/math/3005
• lemniscate 곡선의 길이와 타원적분

파일:1000Hz.wav

하위페이지

• 삼각함수
  • 구면삼각법
  • 라디안
  • 삼각비에서 삼각함수로
  • 삼각치환
    • 1/(1+x^2)의 적분
  • 삼각함수 이야기 두번째 - 덧붙이는 말
  • 삼각함수에는 왜 공식이 많은가?
  • 삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수
  • 삼각함수의 값
    • 삼각함수의 유리수 값
  • 삼각함수의 덧셈과 곱셈 공식
  • 삼각함수의 무한곱 표현
  • 삼각함수의 배각공식 표
  • 삼각함수의 역사
  • 삼각함수의 일반화
  • 삼각함수의 적분
  • 쌍곡함수
  • 역삼각함수
  • 원 위에서 각도함수 정의하기
  • 원의 매개화와 삼각함수의 탄생
  • 코탄젠트

관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들

• 미분과 적분
  • 삼각함수의 미분과 적분
• 복소수
  • 극형식표현

관련있는 다른 과목

• 물리학
  • 단진동
  • 파동
• 지구과학
  • 지구의 크기
• 음악
  • 수학과 음악

관련된 대학교 수학

• 일변수미적분학
• 톨레미의 정리

관련된 항목들

• 무리수와 초월수
• 삼각함수에는 왜 공식이 많은가?
• 푸리에 해석
• 유한군의 표현론

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_function
• http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities
• http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos+x

관련논문

• A Note on the History of Trigonometric Functions
  • Jean-Pierre Merlet, International Symposium on History of Machines and Mechanisms, 2004
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/10.1007/1-4020-2204-2_16

블로그

• http://navercast.naver.com/science/math/3005